Exercise 1.4 (3)

If p and q are true and r and s are false, find the truth value of each of the following compound statements.

i) p ∧ (q ∧ r)
Ans:
p ∧ (q ∧ r) ≡T∧(T∧F)
                   ≡T∧F
                   ≡F
Hence Truth Value is F.

ii) (p → q) ∨ (r ∧ s)
Ans: 
(p → q) ∨ (r ∧ s) ≡ (T →T)∨(F∧F)
                              ≡ T∨F
                              ≡ T
Hence Truth Value is T

iii) ∼ [(∼ p ∨ s) ∧ (∼ q ∧ r)]
Ans: 
∼ [(∼ p ∨ s) ∧ (∼ q ∧ r)] ≡~[(~T∨F)∧(~T∧F)]
                                          ≡ ~[(F∨F)∧(F∧F)]
                                          ≡ ~[F∧F]
                                          ≡ ~[F]
                                          ≡T
Hence Truth Value is T

iv) (p → q) ↔ ∼ (p ∨ q)
Ans: 

(p → q) ↔ ∼ (p ∨ q) ≡ (T→T)↔~(T∨T) 
                                    ≡ T↔~T
                                    ≡ T↔F 
                                    ≡ F
Hence Truth Value is F

v) [(p ∨ s) → r] ∨ ∼ [∼ (p → q) ∨ s]
Ans: 
[(p ∨ s) → r] ∨ ∼ [∼ (p → q) ∨ s] ≡ [(T∨F)→F]∨~[~(T→T)∨F] 
                                                        ≡ (T→F)∨~[~T∨F]
                                                        ≡ F∨~[F∨F]
                                                       ≡ F∨~F
                                                      ≡ F∨T
                                                      ≡ T
Hence Truth Value is T

vi) ∼ [p ∨ (r ∧ s)] ∧ ∼ [(r ∧ ∼ s) ∧ q]
Ans: 
∼ [p ∨ (r ∧ s)] ∧ ∼ [(r ∧ ∼ s) ∧ q] ≡ ~[T∨(F∧F)]∧~[(F∧~F)∧T] 
                                                                  ≡ ~[T∨F]∧~[(F∧T)∧T] 
                                                                  ≡ ~T∧~(F∧T)
                                                                  ≡ F∧~F 
                                                                 ≡ F∧T
                                                                 ≡ F 
Hence Truth Value is F